GF2 forår 2017 - Vilkårlige trekanter (trigonometri)

I dag kastede vi os over de vilkårlige trekanter og vi måtte indse, at de trigonometriske regneregler for retvinklede trekanter med cosinus, sinus og tangens, som vi fik i værktøjskassen sidste gang, "slår ikke til", når det ikke er retvinklede trekanter, vi arbejder med... Til gengæld kan cosinusrelationerne og sinusrelationerne klare dette og disse blev føjet til vores værktøjskasse :-)

Vi faldt hurtigt i "sinus-fælden" ... der lurer som en glubsk tiger i det høje græs, når man om en vilkårlig trekant har fået oplyst længden af to sider samt en modstående vinkel ...

Det er der heldigvis metoder til at undgå, .... nemlig cosinusrelationerne ...

Det kan I læse meget mere om i det trigonometri-kompendie, I fik udleveret tidligere, ... der er et link til dette kompendie i tidligere indlæg om trigonometri.

Vi fik (som en bonus) en superformel til bestemmelse af en trekants areal, hvis man kender længden af to sider og vinklen mellem dem (altså ingen behov for trekantens højde), ... den bliver i det daglige omtalt som "Den halve appelsin" ...

Oversigt over sinus- og cosinusrelationerne:

Hvornår skal jeg bruge hvad?

< LINK > til de fem trekantstilfælde.

< LINK > Jeg vil anbefale video nr. 16, 18, 19, 20

< LINK > til supersmart web-side, der kan klare de "hårde" udregninger for dig, du skal blot indtaste de kendte værdier, så får du resultaterne, mellemregningerne og en skitse "smidt i hovedet"... husk at denne hjemmeside benytter . (punktum) som decimalseperator.

Til sidst en lille matematik-joke

Trigonometri (del 1)

Vi fik lige kigget nærmere på, hvad I allerede ved om trekanter og vinkler.

Og vi fik "taget hul på" på trigonometrien, - i dag blev vi klogere på enhedscirklen, ligedannede (ensvinklede) trekanter samt begreberne cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter, - ligesom vi fik opstillet nogle formler, der kan bruges, når man skal bestemme sidelængder og vinkler i en retvinklet trekant.

Det anbefales, at se videoerne nr. 3, 8, 9, 10, 13, 14, 22 på denne videoliste < LINK >

Denne hjemmeside kan også anbefales < LINK >

------------------------------------------

Nedenstående kræver UNI-login

------------------------------------------

Kompendie om trigonometri < LINK >

Afsnit om trigonometri i webbog F-E < LINK >

Afsnit om trigonometri i webbog D-C < LINK >

Vi arbejder videre med vilkårlige trekanter næste gang :-)

Eksamensprojekt 1 - funktioner

Så gik startskuddet for det første eksamensprojekt, der skal omhandle funktioner, - altså både de lineære og de eksponentielle funktioner. Bemærk at eksamensprojektet bliver inkluderet i en eventuel årskarakter i det tilfælde, at I ikke skal til eksamen i matematik.

Afleveringsfristen er: torsdag den 30. november (2017)
Projektet skal afleveres i pdf-format på e-mail:   pvm@eucnordvest.dk
(Afleveringen er individuel)

Se projektbeskrivelsen her: < LINK >

I dagens lektioner gennemgik vi (for en sikkerheds skyld) det vigtigste omkring såvel lineære som eksponentielle funktioner. Se eventuelt de nedenstående "screendumps".
(Klik på billederne for at se dem i stor udgave)

GF2 forår 2017 - Eksponentielle funktioner.

Dagens matematiktimer omhandlede eksponentiel vækst, hvor vi fik en række nye ord og metoder "puttet" i værktøjskassen, - bl.a. startværdi, fremskrivningsfaktor, vækstrate, halveringskonstant, fordoblingskonstant og meget .... meget andet :-)

Det kom heller ikke bag på nogen, at man kan bestemme forskriften for en eksponentiel funktion, hvis man kender to punkter på dens graf.

Den såkaldte "kapitalfremskrivnings-formel" er en eksponentiel sammenhæng.

Vi fik også set på grafen for den voksende og den aftagende eksponentielle funktion og sammenhængen mellem grafen og fremskrivningsfaktoren...

Jeg vil anbefale, at du ser denne videoliste < LINK >

Her kan du læse mere om eksponentielle funktioner: < LINK >

webmatematik.dk om renteformlen (kapitalfremskrivning) < LINK > 

Afslutningsvis fik et kik på, hvordan man foretager regression (finde den bedste linje) for et datasæt indeholdende et antal punkter, der ikke nødvendigvis alle ligger pænt på grafen, - hertil kan man bruge såvel Excel som GeoGebra.

Link til YouTube-video om eksponentiel regression med GeoGebra: < LINK >

I video siger han (ved 1:51), at man skal vælge tovariabelregressionsanalyse, men i nyere versioner af GeoGebra, skal I bare vælge Regressionsanalyse (se billedet herunder), men som han siger, hvis I vælger Vækst som regressionsmodel (se video ved 2:04), så kommer ligningen frem uden e (Eulers tal).

Lineære funktioner.

Emnet for dagens matematikundervisning var lineære funktioner. Begrebet "funktion" blev gennemgået, så I nu har fået en generel forståelse for, hvad en funktion egentligt er for en størrelse :-) Vi gennemgik metoden til bestemmelse af værdierne for a (hældningskoefficienten) og b (konstanten) i modellen for den lineære funktion (sammenhæng) hvis man kender to punkter, der opfylder forskriften for en aktuel funktion. Det blev tillige gennemgået, hvordan man (på flere måder) kan tegne grafen for en lineær funktion i et koordinatsystem (det bliver en ret linje) og I fik også indsigt i, hvad værdierne og fortegn for a og b har af betydning for grafens udseende.

Funktionsbegrebet (generelt)

Generelt om lineære funktioner

Bestemmelse af en forskrift ud fra to kendte punkter

< LINK > til teorimateriale om lineære funktioner (kræver UNI-login).

< LINK > til øvelsesopgaver (kræver UNI-login).

< LINK > til emnet i jeres web-matematikbog (kræver UNI-login).
< LINK > til emnet på webmatematik.dk.

< LINK > til playliste om lineære funktioner (video 1 - 9 samt 18 anbefales).

< LINK > denne video er heller ikke "helt ved siden af"...

To ligninger med to ubekendte.

Dagens tema var to ligninger med to ubekendte, hvor vi kiggede på forskellige strategier til at løse sådanne problemstillinger. Man kan selvfølgelig gætte sig frem ("Trial & Error"), man kan løse det grafisk ved at indtegne de rette linjer i et koordinatsystem og aflæse koordinatsættet til linjernes skæringspunkt (hvis der findes et sådant punkt) eller man kan bestemme løsningen ved beregning. Til sidstnævnte fremgangsmåde findes der en række metoder, hvoraf den såkaldte "Indsættelsesmetode" eller den, der omtales som "Lige store koefficienter", er gode metoder .... de blev gennemgået på tavlen, - se eventuelt nedenstående "screendump"

Indsættelsesmetoden

Lige store koefficienter

GeoGebra

Vores "ven", når der bl.a. skal løses ligninger, - også to ligninger med to ubekendte.

Det er lidt "kringlet" at indtaste ligningerne, men det er umagen værd.

kommando:   solve[{liste af ligninger},{liste af ubekendte}]

< LINK > til udleveret teorimateriale (kræver UNI-login).

< LINK > til webmatematik.dk (om 2 ligninger, 2 ubekendte).

< LINK 1 > til jeres webbog om emnet (kræver UNI-login).

< LINK  2 > til jeres webbog om emnet (kræver UNI-login).

< LINK > til øvelsesopgave (kræver UNI-login).

Du skal altid skifte mening ...

Monty Hall-problemet er en opgave, som handler om sandsynlighed, og som er løst baseret på det amerikanske TV-program " Let's Make a Deal ". Problemet har fået navn efter programmets vært, Monty Hall.

Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?" Er det nu en fordel af vælge om?

Ja, ja det er :-)

< LINK > til en glimrende video om problemet.